CN116702381B - 一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，螺栓连接等效模型建立，在被连接件的有限元模型的连接区域对应点上建立非线性弹簧阻尼元，计算非线性弹簧阻尼元对被连接件的连接力；将被连接结构拆分为若干个子结构，对所述子结构进行矩阵分块，计算子结构中参与等效连接件连接的非线性弹簧阻尼元连接力；采用Craig‑Bampton子结构方法对子结构进行凝聚；利用凝聚后的子结构进行扫频或随机振动响应计算，进行响应的迭代计算，最终获得非线性子结构的幅频响应曲线。采用本发明的这种方法可以实现螺栓等效非线性结构振动响应的快速计算。

Description

一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法

技术领域

本发明属于结构动力学技术领域，具体涉及一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法、计算机可读的存储介质及电子装置。

背景技术

螺栓连接是在运载火箭中大量使用的一种连接方式，尤其是箭体各个舱段，通常采用若干螺栓对舱段端框进行连接。如图1所示即为典型的舱段连接形式示意。在利用有限元建模对结构进行振动特性分析时，通常需要对螺栓连接进行简化，一般采用梁单元、弹簧单元等线性单元对螺栓连接进行等效，这样最终得到的有限元模型为线性模型，可以通过模态、频响计算获得结构振动特性，不需要耗费大量时间进行时域瞬态计算。但是由于实际螺栓连接通常包含接触、预紧力、摩擦、间隙等非线性因素，尤其是舱段主要连接结构，这些非线性因素对整体结构振动特性影响更为显著。采用线性单元模拟最终可能无法达到较好的模拟效果，无法和振动试验较好吻合。而如果直接建立其非线性模型可以考虑各种非线性因素，但是由于无法计算模态、频响，只能通过时域扫频或随机振动之类的瞬态计算方法间接获得结构的振动特性，相比而言非常耗时。

发明内容

本发明针对螺栓连接直接建立非线性模型，只能通过时域扫频或随机振动之类的瞬态计算方法间接获得结构的振动特性，非常耗时的问题，提出了一种考虑螺栓连接非线性的等效简化及振动响应计算方法，引入了一种考虑间隙、非线性刚度力、非线性阻尼力的非线性弹簧阻尼元，为提升引入非线性后瞬态计算的效率，采用Craig-Bampton子结构方法对有限元模型降阶。

本发明提供的一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，所述螺栓连接件连接被连接结构，包括如下步骤：

连接等效模型建立，在被连接件的有限元模型的连接区域对应点上建立非线性弹簧阻尼元，计算非线性弹簧阻尼元对被连接件的连接力；所述连接等效模型建立具体为螺栓连接等效模型建立；所述连接区域具体为所述螺栓连接区域；

将被连接结构拆分为若干个子结构，对所述子结构进行矩阵分块，计算子结构中参与等效连接件连接的非线性弹簧阻尼元连接力；

采用Craig-Bampton子结构方法对子结构进行凝聚，计算子结构模态集（），计算子结构模态空间下的模态质量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩 阵、模态力向量；

利用凝聚后的子结构进行扫频或随机振动响应计算，在每个时间步中根据各个子结构连接面的上一时刻状态，所述状态包括连接自由度的位移和速度，计算子结构连接自由度之间的相互作用力，从而进行响应的迭代计算，最终获得非线性子结构的幅频响应曲线。

进一步地，连接等效模型建立，在被连接件的有限元模型的连接区域对应点上建立非线性弹簧阻尼元，计算非线性弹簧阻尼元对被连接件的连接力，包括

定义弹簧阻尼元所连接的两个节点第一连接节点和第二连接节点的三个方向平 动自由度分别为和，其中x方向为连接面法向；非线性弹簧阻 尼元对被连接件的作用力（连接力）通过所连接节点三个平动自由度的位移、速度状态计算 获得，所构造的弹簧阻尼元连接力计算方法具体如下，以对第一连接节点的连接力进行计 算，对第二连接节点的连接力与第一连接节点的连接力等大反向：

(1)

其中：

；为刚度、阻尼非线性阶数，取值为 自然数，根据需要进行选择，在能与试验较好吻合的条件下阶数以小为优；

为连接刚度、阻尼系数，为轴向连接间隙；

所述将被连接结构拆分为若干个子结构，对所述子结构进行矩阵分块，计算子结构中参与等效连接件连接的非线性弹簧阻尼元连接力，包括

定义子结构中未参与等效连接件（螺栓）连接的自由度集合记为，参与等效连接 件（螺栓）连接的自由度集合记为，则以其中某一子结构为例，其振动方程可以写作如下 形式：

(2)

其中：

、、、为分块质量矩阵；

、、、为分块阻尼矩阵；

、、、为分块刚度矩阵；

为该子结构非连接自由度所受到的外力向量；

为非线性弹簧阻尼元对应的连接力，对于互相连接的子结构而言， 假定存在个连接点，则：

(3)；

所述采用Craig-Bampton子结构方法对子结构进行凝聚，计算子结构模态集（），计算子结构模态空间下的模态质量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩 阵、模态力向量，包括

将子结构连接自由度完全约束计算如下广义特征值方程：

(4)

其中：

为该特征方程计算得到的振型矩阵；

为对角矩阵，对角线第k个元素为的第k列振型对应的特征值；

对进行模态截断，选择其低阶模态，从而构造约束子结构主模态：

(5)

其中为0矩阵。

根据连接自由度和内部自由度的静力平衡关系，构造约束模态：

(6)

其中为单位阵；

从而得到子结构模态集：

(7)

通过上述模态集对子结构进行模态坐标变换，即：

(8)

其中：

为约束主模态对应的模态坐标；

为约束模态对应的模态坐标；

即为和构成的模态坐标集；

从上述模态坐标变换可看出，变换前后连接自由度保持其物理属性，即；

坐标变换后子结构振动方程如下：

(9)

其中、、、分别为模态质量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵、模态力向 量，对应的计算公式如下：

(10)

其中，的下标L对应线性，/>的下标NL对应非线性，这两种力分别是线性力和非线性力，分别对应公式（10）中的等号左边的两项。

经过凝聚后的子结构振动方程自由度数目为连接自由度数与截断模态阶数之 和，通过模态截断可对子结构大幅凝聚。

进一步地，还包括非线性参数修正，具体通过将最终获得非线性子结构的幅频响应曲线与试验测试结果的对比，对非线性弹簧阻尼元的参数进行修正。

进一步地，所述对非线性弹簧阻尼元的参数进行修正，在实际使用时，先采用非线性弹簧阻尼元退化的线性连接力模型进行初步的计算和修正，再逐步考虑非线性项进行修正，具体包括连接间隙取0，连接刚度阻尼力仅取1阶即n、m均取1时，即为线性连接模型。

具体地，所述连接件为螺栓螺母连接件。

另一方面，本发明还提供一种计算机可读的存储介质，所述计算机可读的存储介质包括存储的程序，其中，所述程序运行时执行上述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法。

再另一方面，本发明还提供一种电子装置，包括存储器和处理器，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为通过所述计算机程序执行所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法。

与现有技术相比，本发明的方法能够取得下列有益效果：

本发明提出了一种考虑螺栓连接非线性的等效简化方法，引入了一种考虑间隙、非线性刚度力、非线性阻尼力的非线性弹簧阻尼元，将被连接结构拆分为若干个子结构，将子结构连接自由度完全约束计算广义特征值方程，该特征方程计算得到的振型矩阵，对振型矩阵进行模态截断，选择其低阶模态，从而构造约束子结构主模态，根据连接自由度和内部自由度的静力平衡关系，构造约束模态，从而得到子结构模态集，通过上述模态集对子结构进行模态坐标变换，得到坐标变换后子结构振动方程，计算得到模态质量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵、模态力向量。经过凝聚后的子结构振动方程自由度数目为连接自由度数与截断模态即低阶模态阶数之和，通过模态截断可对子结构大幅凝聚。另外由于Craig-Bampton子结构变换的特点，变换后连接自由度仍保持其物理属性，在进行变换后振动方程的求解时，可直接采用变换后的坐标进行（螺栓）非线性连接力的计算，不需将模态坐标返回至物理空间再进行非线性连接力的计算。因此采用本发明的这种方法可以实现螺栓等效非线性结构振动响应的快速计算。

附图说明

图1为典型螺栓连接结构示意图；

图2为本发明的螺栓等效模型示意图；

图3为本发明的方法流程示意图；

图4为本发明的方法凝聚计算的算例结构示意图；

图5-1（a）和（b）为定频激励响应计算，所提供的算例的激励角速度为20rad/s时，计算得到同一自由度加速度响应示意图，（a）为本发明的方法凝聚计算结果，（b）为直接计算结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-2（a）和（b）分别为本发明的方法凝聚计算相图和直接计算相图；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-3（a）为本发明的方法凝聚计算的螺栓第一连接节点和第二连接节点之间的位移差结果，（b）为直接计算的螺栓第一连接节点和第二连接节点之间的位移差结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-4（a）为本发明的方法凝聚计算的所构造的弹簧阻尼元连接力结果，（b）为直接计算的所构造的弹簧阻尼元连接力结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-5（a）为本发明的方法凝聚计算的不同激励频率（14rand/s-19rand/s）得到对应计算结果，（b）为直接计算的不同激励频率（14rand/s-19rand/s）得到对应计算结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；最左列为激励圆频率(rand/s)-例如14、15.2、16.5、19；

图5-6（a）为本发明的方法凝聚扫频计算得到同一自由度的扫频幅值计算结果，（b）为直接计算得到同一自由度的扫频幅值计算结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-7（a）为本发明的方法凝聚计算得到的同一自由度位移分岔图结果，（b）为直接计算得到的同一自由度位移分岔图结果；扫频时系统在15~30rad/s激励时存在混沌和倍周期现象。

其中，1-螺栓（含螺母），2-舱壁（21-第一端框，21a-第一端框连接面，22-第二端框，22a-第二端框连接面），3-非线性弹簧阻尼元（等效连接），31-第一连接节点，32-第二连接节点，311-第一连接节点自由度，322-第二连接节点自由度。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，均属于本发明保护的范围。

如图3所示流程，本实施例提供一种连接件连接非线性的等效和振动响应计算方法，所述连接件为螺栓（含螺母），螺栓连接被连接结构，所述被连接结构为设置有第一端框和第二端框的舱壁，所述舱壁通过第一端框和第二端框用螺栓予以连接，包括如下步骤

步骤1： 螺栓连接等效模型建立

在被连接件的有限元模型的螺栓连接区域对应点上建立非线性弹簧阻尼元即所 述的螺栓连接等效模型，如图2所示。弹簧阻尼元所连接的两个节点第一连接节点和第二连 接节点，第一连接节点对应第一端框，第二连接节点对应第二端框，下面记为第一连接节点 和第二连接节点的三个方向平动自由度分别为：、(其中ux₁和 ux₂方向分别为第一端框连接面和第二端框连接面的法向)。非线性弹簧阻尼元对被连接件 的作用力可通过所述第一连接节点和第二连接节点三个平动自由度的位移、速度状态计算 获得。

综合考虑螺栓连接的非线性效应，所构造的弹簧阻尼元连接力计算方法如下，本实施例以对第一连接节点的连接力计算为例，第二连接节点的连接力与第一连接节点的连接力等大反向。

其中：

；

为连接刚度、阻尼系数，为轴向连接间隙。

从上述非线性弹簧元的连接力表达式可以看出，非线性主要体现在连接的轴向即 X方向，其中即为该非线性连接所需确定的参数，可以通 过试验数据进行识别，为刚度、阻尼非线性阶数，取值为自然数，可根据需要进行选 择，在能与试验较好吻合的条件下阶数以小为优。当阶数均取1且连接间隙取0时，该连接即 可退化成线性弹簧阻尼连接。

步骤2：子结构有限元模型的处理

将被连接结构拆分为若干个子结构，子结构中未参与等效螺栓连接的自由度集合 记为，参与等效螺栓连接的自由度集合记为。则以其中某一子结构为例，其振动方程可 以写作如下形式：

其中：

、、、为分块质量矩阵；

、、、为分块阻尼矩阵；

、、、为分块刚度矩阵；

为该子结构非连接自由度所受到的外力向量；

为非线性弹簧阻尼元对应的连接力，对于互相连接的子结构而言，假 定存在个连接点，则：

步骤3：子结构凝聚

采用Craig-Bampton子结构方法对子结构进行凝聚，将子结构连接自由度完全约束计算如下广义特征值方程：

(4)

其中：

为该特征方程计算得到的振型矩阵；

为对角矩阵，对角线第k个元素为的第k列振型对应的特征值；

对进行模态截断，选择其低阶模态，从而构造约束子结构主模态：

其中为0矩阵。

根据连接自由度和内部自由度的静力平衡关系，构造约束模态：

其中为单位阵。

从而得到子结构模态集：

(7)

通过上述模态集对子结构进行模态坐标变换，即：

其中：

为约束主模态对应的模态坐标；

为约束模态对应的模态坐标；

即为和构成的模态坐标集。

从上述模态坐标变换可看出，变换前后连接自由度保持其物理属性，即。

坐标变换后子结构振动方程如下：

(9)

其中、、、分别为模态质量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵、模态力向 量，对应的计算公式如下：

经过凝聚后的子结构振动方程自由度数目为连接自由度数与截断模态阶数 之和，通过模态截断可对子结构大幅凝聚。另外由于Craig-Bampton子结构变换的特点，变 换后连接自由度仍保持其物理属性，在进行变换后振动方程的求解时，可直接采用变换后 的坐标进行（螺栓）非线性连接力的计算，不需将模态坐标返回至物理空间再进行非线性连 接力的计算。因此采用这种方法可以实现本文螺栓等效非线性结构振动响应的快速计算。

步骤4：子结构综合计算

利用凝聚后的子结构进行扫频或随机振动响应计算，在每个时间步中根据各个子结构连接面的上一时刻状态（连接自由度的位移和速度），计算子结构连接自由度之间的相互作用力，从而进行响应的迭代计算。最终获得非线性子结构的幅频响应曲线，通过与试验测试结果的对比，对非线性弹簧阻尼元的参数进行修正，以达到仿真可以较好预示实际。

实际使用时，先采用非线性弹簧阻尼元退化的线性连接力模型进行初步的计算和修正，再逐步考虑非线性项进行修正，具体包括连接间隙取0，连接刚度阻尼力仅取1阶即n、m均取1时，即为线性连接模型。

模型修正具体的方法不在本发明讨论范畴，本发明主要给出了一种非线性连接模型，以及对应的给出了一种快速精确的动响应计算方法，由于本发明中介绍的方法计算效率很高，后续如果需要对非线性模型的参数进行修正，很方便且快速。

采用串联结构（图1中包括上下两个设有端框的舱壁，通过两个端框串联在一起）作为计算案例，两个子结构串联即两个舱壁子结构串联，存在一个连接自由度，该连接考虑采用本发明的非线性刚度阻尼模拟，并考虑连接间隙。

图4为本发明的方法凝聚计算的算例结构示意图。算例计算了如图4所示的一种结构(左侧为算例示意，右侧为对算例的注释),整体包含两部分结构(上部结构包含100个串联自由度，下部结构包含200个串联自由度),中间通过本发明非线性弹簧阻尼元连接。采用本发明方法对子结构进行模态凝聚(两部分结构凝聚后在模态空间各保留了10个自由度)后计算，将计算结果同直接对整体结构计算得到的结果对比，对比了包括时域响应、幅频曲线、相图和分岔图，从分析结果来看本文介绍的方法具有较好能精度，从而说明本发明方法可在提升计算速度的同时保证计算精度。

采用本发明计算方法（图中称本文方法）对结构凝聚后进行计算，将计算结果同直接计算进行对比。

计算工况一，定频激励响应计算：

图5-1（a）和（b）为定频激励响应计算，所提供的算例的激励角速度为20rad/s时，计算得到同一自由度加速度响应示意图，（a）为本发明的方法凝聚计算结果，（b）为直接计算结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-2（a）和（b）分别为本发明的方法凝聚计算相图和直接计算相图；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-3（a）为本发明的方法凝聚计算的螺栓第一连接节点和第二连接节点之间的位移差结果，（b）为直接计算的螺栓第一连接节点和第二连接节点之间的位移差结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-4（a）为本发明的方法凝聚计算的所构造的弹簧阻尼元连接力结果，（b）为直接计算的所构造的弹簧阻尼元连接力结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

从计算结果来看，本文中的非线性等效及动响应计算方法具有较高的精度，在对非线性模型进行凝聚提高计算速度的同时，仍可以保持较高精度。

调整不同激励频率得到对应计算结果如表所示：

图5-5（a）为本发明的方法凝聚计算的不同激励频率（14rand/s-19rand/s）得到对应计算结果，（b）为直接计算的不同激励频率（14rand/s-19rand/s）得到对应计算结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

从计算结果来看，不仅计算量级同直接计算一致，计算得到的非线性结构的非线性特性也较好的保持了一致。

计算工况二，扫频计算：

扫频计算得到同一自由度两种计算方法的扫频幅值计算结果对比如下所示：

图5-6（a）为本发明的方法凝聚扫频计算得到同一自由度的扫频幅值计算结果，（b）为直接计算得到同一自由度的扫频幅值计算结果；（c）为（a）和（b）重叠对比图；

图5-7（a）为本发明的方法凝聚计算得到的同一自由度位移分岔图结果，（b）为直接计算得到的同一自由度位移分岔图结果；扫频时系统在15~30rad/s激励时存在混沌和倍周期现象；

从计算结果来看，本文中的非线性等效及动响应计算方法具有较高的精度，在对非线性模型进行凝聚提高计算速度的同时，仍可以保持较高精度。

Claims (7)

1.一种螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，所述螺栓连接件连接被连接结构，其特征在于包括如下步骤：

连接等效模型建立，在被连接件的有限元模型的连接区域对应点上建立非线性弹簧阻尼元，计算非线性弹簧阻尼元对被连接件的连接力；

将被连接结构拆分为若干个子结构，对所述子结构进行矩阵分块，计算子结构中参与等效连接件连接的非线性弹簧阻尼元连接力；

采用Craig-Bampton子结构方法对子结构进行凝聚，计算子结构模态集Φ＝[Φ_N Φ_C]，计算子结构模态空间下的模态质量矩阵模态阻尼矩阵/>模态刚度矩阵/>模态力向量/>其中，Φ_N为约束子结构主模态，Φ_C为约束模态；

利用凝聚后的子结构进行扫频或随机振动响应计算，在每个时间步中根据各个子结构连接面的上一时刻状态，所述状态包括连接自由度的位移和速度，计算子结构连接自由度之间的相互作用力从而进行响应的迭代计算，最终获得非线性子结构的幅频响应曲线。

2.根据权利要求1所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，其特征在于

连接等效模型建立，在被连接件的有限元模型的连接区域对应点上建立非线性弹簧阻尼元，计算非线性弹簧阻尼元对被连接件的连接力，包括

定义弹簧阻尼元所连接的两个节点第一节点和第二节点的三个方向平动自由度分别为{u_x1,u_y1,u_z1}^T和{u_x2,u_y2,u_z2}^T，其中x方向为连接面法向；非线性弹簧阻尼元对被连接件的作用力通过所连接节点三个平动自由度的位移、速度状态计算获得，所构造的弹簧阻尼元连接力计算方法具体如下，以对第一节点的连接力进行计算，对第二节点的连接力与第一节点的连接力等大反向：

其中：

Δu_i＝u_i1-u_i2,i＝x，y，z；n、m为刚度、阻尼非线性阶数，取值为自然数，根据需要进行选择，在能与试验较好吻合的条件下阶数以小为优；K_y、K_z、k_xi、C_y、C_z、c_xj为连接刚度、阻尼系数，δ为轴向连接间隙；

所述将被连接结构拆分为若干个子结构，对所述子结构进行矩阵分块，计算子结构中参与等效连接件连接的非线性弹簧阻尼元连接力，包括

定义子结构中未参与等效连接件连接的自由度集合记为i，参与等效连接件连接的自由度集合记为j，则以其中某一子结构为例，其振动方程可以写作如下形式：

其中：

M_ii、M_ij、M_ji、M_jj为分块质量矩阵；

C_ii、C_ij、C_ji、C_jj为分块阻尼矩阵；

K_ii、K_ij、K_ji、K_jj为分块刚度矩阵；

F_i为该子结构非连接自由度所受到的外力向量；

F_j为非线性弹簧阻尼元对应的连接力，对于互相连接的子结构而言假定存在k个连接点，则：

F_j＝[F_1x F_1y F_1z…F_kx F_ky F_kz]^T (3)；

所述采用Craig-Bampton子结构方法对子结构进行凝聚，计算子结构模态集Φ＝[Φ_NΦ_C]，计算子结构模态空间下的模态质量矩阵模态阻尼矩阵/>模态刚度矩阵/>模态力向量/>包括

将子结构连接自由度完全约束计算如下广义特征值方程：

其中：

为该特征方程计算得到的振型矩阵；

λ_ii为对角矩阵，对角线第k个元素为的第k列振型对应的特征值；

对进行模态截断，选择其低阶模态/>从而构造约束子结构主模态：

其中0_jL为0矩阵；

根据连接自由度和内部自由度的静力平衡关系，构造约束模态：

其中I_jj为单位阵；

从而得到子结构模态集：

Φ＝[Φ_N Φ_C] (7)

通过上述模态集对子结构进行模态坐标变换，即：

其中：

q_iL为约束主模态对应的模态坐标；

q_j为约束模态对应的模态坐标；

q即为q_iL和q_j构成的模态坐标集；

从上述模态坐标变换可看出，变换前后连接自由度保持其物理属性，即x_j＝q_j；

坐标变换后子结构振动方程如下：

其中分别为模态质量矩阵、模态阻尼矩阵、模态刚度矩阵、模态力向量，对应的计算公式如下：

经过凝聚后的子结构振动方程自由度数目为连接自由度数与截断模态阶数之和，通过模态截断可对子结构大幅凝聚。

3.根据权利要求2所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，其特征在于

还包括非线性参数修正，具体通过将最终获得非线性子结构的幅频响应曲线与试验测试结果的对比，对非线性弹簧阻尼元的参数进行修正。

4.根据权利要求3所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，其特征在于

所述对非线性弹簧阻尼元的参数进行修正，在实际使用时，先采用非线性弹簧阻尼元退化的线性连接力模型进行初步的计算和修正，再逐步考虑非线性项进行修正，具体包括连接间隙取0，连接刚度阻尼力仅取1阶即n、m均取1时，即为线性连接模型。

5.根据权利要求1-3任意一项所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法，其特征在于

所述连接件为螺栓螺母连接件。

6.一种计算机可读的存储介质，其特征在于，所述计算机可读的存储介质包括存储的程序，其中，所述程序运行时执行上述权利要求1至5任一项中所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法。

7.一种电子装置，包括存储器和处理器，其特征在于，所述存储器中存储有计算机程序，所述处理器被设置为通过所述计算机程序执行所述权利要求1至5任一项中所述的螺栓连接非线性的等效和振动响应计算方法。